MATLAB怎么求解线性方程组? 附完整代码和案例


    线性方程组的直接解法方法很多，包括Gauss消去法、选主元消去法、平方根法和追赶法等等。但是在MATLAB中，可以直接利用“\”或者“/”来解决问题。这两种方法的内部包含非常多的自适应算法，比如对超定方程使用最小二乘法；对欠定方程给出误差范数最小的一个解；对三对角阵方程组使用追赶法。
    一. 直接求解：矩阵除法
    对线性方程求解，MATLAB调用格式如下：
    
x=A\B

    调用此函数时，矩阵A、B必须具有相同的行数。如果矩阵A没有正确缩放或者接近奇异矩阵，运行代码时，MATLAB就会显示警告信息。
    对矩阵A可以分成如下三种情况：
    
  • 如果A是标量，那么A\B就等同于A.\B
  • 如果A是方阵，B是n行矩阵，那么A\B就是方程A*X=B的解
  • 如果A是矩阵，而且，B是m行矩阵，那么A\B返回方程组A*X=B的最小二乘解
例题1
    解如下方程：
    
    解：
    MATLAB代码如下：
    
clc;clear;
A=[0.4096 0.1234 0.3678 0.2943;0.2246 0.3872 0.4015 0.1129;
    0.3645 0.1920 0.3781 0.0643;0.1784 0.4002 0.2786 0.3927];
b=[0.4043;0.1150;0.4240;-0.2557];
x=A\b;
x' %将结果输出为行向量

    运行结果：
    ans =
    
  • 0.332683779325239
  • -1.412140862756104
  • 1.602847655449206
  • -0.500293786006566
例题2
    A为4阶的幻方矩阵，求解线性方程组Ax=b。b的表达式如下：
    
    备注：幻方矩阵的定义：如果一个数组具有相同行列且每行，每列和对角线上的和都一样，则成这些数组则成为魔方矩阵，又叫幻方矩阵。
    解：
    MATLAB代码如下：
    
clc;clear;
A=magic(4); %生成四阶的幻方矩阵
b=[34;34;34;34];
x=A\b;
x'

    运行结果：
    ans =
    
  • 0.980392156862745
  • 0.941176470588235
  • 1.058823529411765
  • 1.019607843137255

    分析：
    4阶的幻方矩阵是奇异矩阵，奇异矩阵也能求解，但是MATLAB会生成警告，警告信息如下：
    警告: 矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确。RCOND = 4.625929e-18。;
    例题3
    对线性方程组Ax=b进行求解，并分析是否有误差。A，b矩阵如下：
    ，
    解：
    MATLAB代码如下：
    
clc;clear;
A=[1 2 0;0 4 3];
b=[8;18];
x=A\b
E=norm(b-A*x) %求范数误差

    运行结果：
    x =
    
  • 0
  • 3.999999999999997
  • 0.666666666666670

    E =
    7.160723346098895e-15
    分析：此方程属于欠定方程，MATLAB采用最小二乘法进行求解，所以会出现误差
    另外最后举一个利用稀疏矩阵对简单线性方程组Ax=B进行求解。
    MATLAB代码：
    
clc;clear;
A=sparse([0 2 0 1 0;4 -1 -1 0 0;0 0 0 3 -6;-2 0 0 0 2;0 0 4 2 0]);%稀疏矩阵
B=sparse([8;-1;-18;8;20]); %稀疏矩阵
x=A\B
E1=norm(B-A*x) %范数误差

    运行结果：
    x =
    
  • (1,1)      1.000000000000000
  • (2,1)      2.000000000000000
  • (3,1)      3.000000000000000
  • (4,1)      4.000000000000001
  • (5,1)      5.000000000000001

    E1 =
    4.189529226675416e-15
    二. 直接求解：判断求解
    给定矩阵A,B如下：
    
    形成解的判定矩阵C如下：
    
    线性方程组有解的判断定理将分成三种情况：
    2.1 m=n且rank(A)=rank(C)=n
    此时，方程组有唯一的解 
    例题4
    求解如下方程组：
    
    解：
    MATLAB代码如下：
    
clc;clear;
A=[1 2 3 4;4 3 2 1;1 3 2 4;4 1 3 2];
B=[5 1;4 2;3 3;2 4];
C=[A B];
%判定前提条件
rank_A=rank(A)
rank_C=rank(C)
%求解
x1=inv(A)*B
%计算范数误差
E1=norm(A*x1-B)
%计算精确解
x2=inv(sym(A))*B
%计算范数误差
E2=norm(A*x2-B)

    运行结果：
    
  • rank_A =4
  • rank_C = 4

    x1 =
    
  • -1.800000000000000   2.399999999999999
  • 1.866666666666666  -1.266666666666667
  • 3.866666666666667  -3.266666666666667
  • -2.133333333333333   2.733333333333333

    E1 =7.291088482824584e-15
    x2 =
    
  • [ -9/5, 12/5]
  • [28/15, -19/15]
  • [ 58/15, -49/15]
  • [ -32/15, 41/15]

    E2 =0
    2.2 rank(A)=rank(C)=r<n
    此时方程组有无穷多个解。将原方程组可以转化为对应的齐次方程组的解，形式如下：
    
    此时需要求取A矩阵的化零矩阵，MATLAB格式如下：
    
Z=null(A)

     或者求取A矩阵的化零矩阵的规范形式，MATLAB格式如下：
    
Z=null(A,'r')

    例题5
    求解以下方程组:
    
    解：
    MATLAB代码如下：
    
clc;clear;
A=[1 2 3 4;2 2 1 1;2 4 6 8;4 4 2 2];
B=[1;3;2;6];
C=[A B];
%判断可解性
rank=[rank(A),rank(C)]
%求解出规范化的化零空间
Z=null(sym(A))
%求特解
x0=sym(pinv(A)*B)
%验证得出的解
a1=randn(1);
a2=rand(1); %a1和a2是不同分布的随机数
x1=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0;
E=norm(double(A*x1-B))
%将通解表示出来
syms a3 a4;
x2=a3*Z(:,1)+a4*Z(:,2)+x0

    运行结果：
    rank =2
    分析：说明有解，且解不止一个
    Z =
    
  • [    2,    3]
  • [ -5/2, -7/2]
  • [    1,    0]
  • [    0,    1]

    分析：此结果可以解释为，如下等式：
    
    x0 =
    
  • 125/131
  • 96/131
  • -10/131
  • -39/131

    E =0
    分析：此方法求出的结果没有误差
    x2 =
    
  • 2*a3 + 3*a4 + 125/131
  • 96/131 - (7*a4)/2 - (5*a3)/2
  • a3 - 10/131
  • a4 - 39/131

    分析：此结果可以写成通式如下：
    
    2.3 
    此时只能采用摩尔-彭罗斯（Moore-Penrose）广义逆求解出其最小二乘法，MATLAB格式如下：
    
x=pinv(A)*B

    这种方法只能使误差范数测度||Ax-B||取的最小值，并不能完全符合原始的代数方程。
    三. 矩阵求逆解线性方程组
    通过反转系数矩阵A，也可以实现对线性方程组Ax=b的求解。不幸的是，与之前反斜杠计算的方法相比，此方法的运算速度会更慢，残差也相对较大。但其实，它也有它的优点，我们来看一道例题。
    例题 6
    利用八阶的幻方矩阵，来比较MATLAB中x1=A\b和x2=pinv(A)*b两种求解方法的精确度。
    解：
    MATLAB代码如下：
    
clc;clear;
A=magic(8);
A1=A(:,1:6); %行数全取，列数保留1~6列，具体原因见"分析"
rank_A1=rank(A1)
b=260*ones(8,1); %260是原A矩阵的幻数和
%使用反斜杠法求解
x1=A1\b
norm_x1=norm(x1)
E1=norm(A1*x1-b)
%使用pinv()函数求解
x2=pinv(A1)*b
norm_x2=norm(x2)
E2=norm(A1*x2-b)

    运行结果：
    rank_A1 =3
    警告: 秩亏，秩 = 3，tol = 1.882938e-13。
    （由于A1矩阵非方阵，所以运算秩时矩阵出现警告，与矩阵秩相关的介绍可以看以下文章）
    基于MATLAB的矩阵性质：行列式，秩，迹，范数，特征多项式与矩阵多项式_唠嗑！的博客-CSDN博客
    x1 =
    
  • 2.999999999999998
  • 4.000000000000000
  • 0
  • 0
  • 1.000000000000002
  • 0
  • norm_x1 =5.099019513592784
  • E1 =1.392373714442771e-13

    x2 =
    
  • 1.153846153846151
  • 1.461538461538463
  • 1.384615384615385
  • 1.384615384615383
  • 1.461538461538461
  • 1.153846153846153
  • norm_x2 =3.281650616569467
  • E2 =4.019436694230464e-13

    分析：
    
  • （1）将A矩阵转换为A1，因为当只有六列时，方程仍然是一致的，依旧存在解，而且解并非全由1组成。另外，由于矩阵低秩，所以会有无数个解。
  • （2）根据范数误差计算的结果，两种求解方法精度一致

    （3）解x1的特殊之处在于它只有三个非零元素；解x2的特殊之处在于它的norm(x2)非常小
    
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